一、题目分析
用差分法计算$a=b=\frac{11\pi}{7}$的矩形波导中$TM_{11}、TE_{10}$模的场分布、截止频率、特征阻抗（网格划分$ℎ=\frac{\pi}{7}$）
对波导横截面二维标量波动方程定解问题，在波导内：
$$\nabla_{t}^{2}\varphi + K_{c}^{2}\varphi^{2} = \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} + K_{c}^{2}\varphi^{2} = 0$$
采用正方形网格划分的有限差分法：
$$\varphi_{i,j} = \frac{1}{4}\left( {\varphi_{i + 1,j} + \varphi_{i,j + 1} + \varphi_{i - 1,j} + \varphi_{i,j - 1} - h^{2}K_{c}^{2}} \right)$$
对每个节点的值，我们可以采用迭代法和直接法求解。
二、迭代法
这里我们采用迭代较快的超松驰迭代法，迭代格式为：
$$\varphi_{i,j}^{({n + 1})} = \varphi_{i,j}^{(n)} + \omega\left\{ {\frac{1}{4 - h^{2}K_{c}^{2}}\left\{ {\varphi_{i + 1,j}^{\{ n\}} + \varphi_{i,j + 1}^{\{ n\}} + \varphi_{i - 1,j}^{\{{n + 1}\}} + \varphi_{i,j - 1}^{\{{n + 1}\}}} \right\} - \varphi_{i,j}^{\{ n\}}} \right\}$$
ω为松弛因子(1<ω<2)，加速求解的迭代；场的初值需介于其最大值和最小边界值，可以减小迭代次数。