以对称天线为例，远场辐射场为：
$$\left | E_{\theta} \right | =\frac{60I_{m}}{r_{0}} \frac{cos\left ( \beta l cos{\theta }\right ) -cos{\beta l}}{\sin \theta } $$
则其方向图函数为(不包括$\phi$参量)：
$$f\left ( \theta \right ) =\frac{cos\left ( \beta l cos{\theta }\right ) -cos{\beta l}}{\sin \theta } $$
分别取$l=\frac{\lambda}{4}$、$\frac{\lambda}{2}$、$\frac{3 \lambda}{4}$、$\lambda$绘制图像。
需要注意的是，MATLAB绘制极坐标图像默认水平轴线为$\theta$起始轴线，我们需要将其简单旋转以获得普遍的方向图。
向谐振腔中一定区域填充某种材料的介质后,如果电磁场的某些参量发生微小变化,那么这种变化就是微扰。根据微扰理论,通过测量微扰前后电磁场某些参量的变化进而计算介质复介电常数的方法就是微扰法。[7]
假设有一个谐振腔,体积为$V$，内壁面积为$S$。微扰前腔体内填充媒质的介电常数为$\varepsilon$、磁导率为$\mu$。此时谐振腔的固有角频率、电场矢量、磁场矢量分别为$\omega_0$、$\vec{E}_0$、$\vec{H}_0$。那么微扰前,谐振腔空腔$V$内的电磁场满足麦克斯韦方程组与边界条件：
$$\nabla \times {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} = - j\omega_{0}\mu{\overset{\rightarrow}{H}}_{0}\tag{5.1-1}$$
$$\nabla \times {\overset{\rightarrow}{H}}_{0} = j\omega_{0}\varepsilon{\overset{\rightarrow}{E}}_{0}\tag{5.1-2}$$
$$\overset{\rightarrow}{n} \times {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} = 0\tag{5.1-3}$$
将体积为$ΔV$的介质放入谐振腔之后产生扰动，其介电常数和磁导率分别为:$\varepsilon+Δ\varepsilon$、$\mu+Δ\mu$。固有角频率、电场矢量、磁场矢量依次为:$ω$、$\vec E$、$vec H$。此时区域$ΔV$内的电磁场满足麦克斯韦方程组与边界条件:
抑制简并模的方法有：
如果上述两个目的均可以很好地达到，则对腔体内主模对应的简并模以及其它杂模的抑制效果将会十分好，这样的高腔也能非常好地完成测试任务。
为了排除简并模及其他干扰模式对所选定主模$TE_{011}$的影响，采用如下结构谐振腔：
图（3.1-1）圆柱谐振腔垂直截面图本文主要通过对圆柱谐振腔内电磁场特性的分析，设计合适的谐振腔并通过对磁环耦合与孔耦合的反震分析选用相应的耦合与激励装置，使用后腔活塞优化滤除简并模，提高工作模式精度；利用介质微扰理论分别研究环状介质、非中心盘状介质与中心盘状介质微扰对振荡频率及$Q$值的影响、测量介质的介电常数与损耗角正切值并计算相对误差；讨论材料的尺寸、位置、参数与谐振频率对测量误差的影响；利用激励法与活塞法讨论多频点测量。
圆柱谐振腔；耦合；微扰理论；介电常数；频率调节；后腔活塞；损耗角正切
微波测量技术是在超声波、红外线、激光和X射线之后发展起来的一种新型无损检测技术，近年来，在科技、经济及社会生活等方面得到了广泛应用。根据微波谐振腔微扰理论，利用腔体谐振频率随填充介质变化的原理测量腔内介质的介电常数已成为一种重要的高精度测量方法[1]。对腔体谐振频率变化的测量可应用在诸多方面，例如血糖监测、原油中的含水量、测量不同浓度石墨稀溶液的热性能、测量圆柱腔内壁水膜厚度等。
用差分法计算$a=b=\frac{11\pi}{7}$的矩形波导中$TM_{11}、TE_{10}$模的场分布、截止频率、特征阻抗（网格划分$ℎ=\frac{\pi}{7}$）
对波导横截面二维标量波动方程定解问题，在波导内：
$$\nabla_{t}^{2}\varphi + K_{c}^{2}\varphi^{2} = \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} + K_{c}^{2}\varphi^{2} = 0$$
采用正方形网格划分的有限差分法：
$$\varphi_{i,j} = \frac{1}{4}\left( {\varphi_{i + 1,j} + \varphi_{i,j + 1} + \varphi_{i - 1,j} + \varphi_{i,j - 1} - h^{2}K_{c}^{2}} \right)$$
对每个节点的值，我们可以采用迭代法和直接法求解。
这里我们采用迭代较快的超松驰迭代法，迭代格式为：
$$\varphi_{i,j}^{({n + 1})} = \varphi_{i,j}^{(n)} + \omega\left\{ {\frac{1}{4 - h^{2}K_{c}^{2}}\left\{ {\varphi_{i + 1,j}^{\{ n\}} + \varphi_{i,j + 1}^{\{ n\}} + \varphi_{i - 1,j}^{\{{n + 1}\}} + \varphi_{i,j - 1}^{\{{n + 1}\}}} \right\} - \varphi_{i,j}^{\{ n\}}} \right\}$$
ω为松弛因子(1<ω<2)，加速求解的迭代；场的初值需介于其最大值和最小边界值，可以减小迭代次数。