平行耦合线带通滤波器设计

1 低通原型滤波器^[1]

切比雪夫低通原型的逼近衰减函数为:
$$L_{A}\left( \omega^{'} \right) = 10{\log\left\lbrack 1 + \varepsilon T_{n}^{2}\left( \omega^{'} \right) \right\rbrack}$$
其中，$T_n(ω')$是n阶第一类切比雪夫多项式，即:

$$ T_{n}^{2}\left( \omega^{'} \right) = \left\{ \begin{matrix} {{cos}^{2}\left\{ {narccos\omega^{'}} \right.,~~~\omega^{'} \leq 1} \\ {{ch}^{2}\left\{ {narch\omega^{'}} \right.,~~~~~~~~~\omega^{'} \geq 1} \\ \end{matrix} \right. $$

当$ω'=1$时，$T_n (1)=1$，则衰减达到最大值$L_{Ar}=10 log⁡(1+ε)$，得到
$$\varepsilon = 10^{\frac{L_{Ar}}{10}} - 1$$

式子中，$L_{Ar}$是波纹的幅度，$\varepsilon$是波纹系数，$\varepsilon$越小，波纹幅度越小。在通带内，最小衰减为零，而最大衰减可以设定。在$ω'>1$的阻带区域，$T_n (ω')$是一双曲余弦函数，故衰减随$ω'$增大而单调增加，如下图所示

$$ n \geq \frac{arch\sqrt{\frac{\left( {10^{\frac{L_{As}}{10}} - 1} \right)}{\varepsilon}}}{{ch}^{- 1}\omega_{s}^{'}} $$

求出两个n值并取其中较大的值作为滤波器的阶数，由此可以根据以下公式得到梯形电路及其归一化的值。

$$ \left\{ \begin{matrix} {g_{1} = \frac{2a_{1}}{\gamma}} \\ {g_{k} = \frac{{4a}_{k}a_{k - 1}}{b_{k - 1}g_{k - 1}}} \\ {g_{n} = \left\{ \begin{matrix} {1~~~~~~~~~~~~~~~~\left( n为奇数 \right)} \\ {{th}^{2}\left( \frac{\beta}{4} \right)~~~~\left( n为偶数 \right)} \\ \end{matrix} \right.} \\ \end{matrix} \right. $$

式中：

$$ \begin{cases} \beta &=\ln \left (\tanh ^{-1}\frac{L_{Ar}}{17.73} \right )\\ \gamma &=\sinh \left (\frac{\beta }{2n} \right )\\ a_k &=\sin \left ( \frac{2k-1}{2n} \pi \right ) \\ b_k &=\gamma ^2+\sin ^2\left ( \frac{k\pi}{n} \right ) \end{cases} $$

为了使设计结果更接近要求的参数指标，同时增大设计余量，在计算时我们令带内波纹$L_{Ar}=0.05dB$，带外抑制$L_{As}=-50dB$。使用matlab计算得到$n=4.3685$，因此选择$n=5$。最终得到电抗值分别为$g_1=0.9984$，$g_2=1.3745$，$g_3=1.8283$，$g_4=1.3745$，$g_5=0.9984$。考虑到后续传输线的实现，我们选择的网络为电感输入，如下图所示^[2]

2 实际滤波器元件的真实值计算

将等衰减条件分别运用于串、并联支路，即：
$$\overset{-}{Z_{k}}\left( \omega \right) = j\omega^{'}g_{k} = j\left( \omega\overset{-}{L_{k}} - \frac{1}{\omega\overset{-}{C_{k}}} \right)$$
$$\overset{-}{Z_{k}}\left( \omega \right) = \frac{1}{j\omega^{'}g_{i}} = \frac{1}{j\left\lbrack \frac{1}{W}\left( \frac{\omega}{\omega_{0}} - \frac{\omega_{0}}{\omega} \right) \right\rbrack g_{i}}$$
得到串联支路电抗元件归一化值为:

$$ \left\{ \begin{matrix} {\overset{-}{L_{k}} = \frac{g_{k}}{W\omega_{0}}} \\ {\overset{-}{C_{k}} = \frac{W}{{g_{k}\omega}_{0}}} \\ \end{matrix} \right. $$

并联支路电抗元件归一化值为:

$$ \left\{ \begin{matrix} {\overset{-}{L_{i}} = \frac{W}{{g_{i}\omega}_{0}}} \\ {\overset{-}{C_{i}} = \frac{g_{i}}{W\omega_{0}}} \\ \end{matrix} \right. $$

带通滤波器归一化电路如下图所示

$$ \left\{ \begin{matrix} {L_{k} = Z_{0}\overset{-}{L_{k}} = \frac{Z_{0}g_{k}}{W\omega_{0}}} \\ {C_{k} = \frac{\overset{-}{C_{k}}}{Z_{0}} = \frac{W}{\omega_{0}Z_{0}g_{k}}} \\ \end{matrix} \right.\tag{串联支路} $$

$$ \left\{ \begin{matrix} {L_{i} = Z_{0}\overset{-}{L_{i}} = \frac{Z_{0}W}{g_{i}\omega_{0}}} \\ {C_{i} = \frac{\overset{-}{C_{i}}}{Z_{0}} = \frac{g_{i}}{\omega_{0}Z_{0}W}} \\ \end{matrix} \right.\tag{并联支路} $$

且，负载阻抗为$R=Z_0 g_{n+1}$
通过计算得到:

$$ \begin{cases} & L_1 = 39.7265 nH \\ & C_1 = 0.1101 pF \end{cases} \qquad \begin{cases} & L_2 = 0.2010 nH \\ & C_2 = 21.8765 pF \end{cases} \qquad \begin{cases} & L_3 = 72.7471 nH \\ & C_3 = 0.0605 pF \end{cases} $$

$$ \begin{cases} & L_4 = 0.2010 nH \\ & C_4 = 21.8765 pF \end{cases} \qquad \begin{cases} & L_5 = 39.7265 nH \\ & C_5 = 0.1101 pF \end{cases} $$

在ADS中仿真的集总参数电路如下图所示

3 J倒换器的倒置变换

  据上述方法，选择不同的逼近函数均可得到低通原型的梯形电路，这样的电路在低频实现没有太大问题，但在微波频段，由于许多LC电路聚集在一起，且LC元件值相差较大，微波结构不易实现，通常把LC低通原型变换成只有这一种电感元件或只有一种电容元件的低通原型，称为“变形低通原型”，具体方法我们可以添加倒置转换器，最终得到只含有一种电抗元件的低通原型。
最简单的倒置转换器就是 $\lambda / 4$ 微带传输线。终端带负载 $Z_L$ 的传输线的输入阻抗为
$$Z_{in} = Z_{0}\frac{Z_{L} + jZ_{0}tan\left( \beta d \right)}{Z_{0} + jZ_{L}tan\left( \beta d \right)}$$
微带线长度 $d = \lambda / 4$ 时, $Z_{in}= (Z_0^2)⁄Z_L$ ﹐可见 , $Z_{in}$、$Z_L$存在一定的倒置关系:$Z_L$越大时、$Z_{in}$越小, $Z_L$为容性时、$Z_{in}$即为感性, 此即所谓的倒置变换器.对 L 、C并联谐振电路且两端分别接特性阻抗为$Z_0$ , 长 $\lambda /4$ 的微带线而言 , 根据A矩阵变换

$$ \left [ A\right ] _{\frac{\lambda }{4} }=\begin{bmatrix} 0 & jZ_0 \\ j/Z_0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \left [ A\right ] _{并联}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ j\omega C-j\frac{1}{\omega L} & 1 \end{bmatrix} $$

则可以得到总的A矩阵为如下

$$ \begin{align} \left [ A\right ] _{总} & = \begin{bmatrix} 0 & jZ_0 \\ j/Z_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ j\omega C-j\frac{1}{\omega L} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & jZ_0 \\ j/Z_0 & 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & jZ_0^2\left ( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right ) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $$

其中，负号表示输出端的电压、电流反向，下图给出了此矩阵形式的等效电路：

$$ Z_{in} = K^{2}/Z_{L} $$

叫做阻抗倒置变换器， 也称K变换器。
根据矩阵级联的方法，能较容易地得出串电感与并电容的等效关系。可见，只要选择合适的倒置变换器，就能在串电感与并电容之间进行任意的变换，这为设计微带滤波器带来了很大的简便。
由于我们选择了平行耦合线来最终实现该带通滤波器，考虑到平行耦合线的结构特点，我们小组采用了J变换对原型电路进行了转换。因为J变换中的并联电容元件能等效为我们采取的平行耦合线模式，而K变换则是另外的电路模型。
其中，J变换器的设计公式为：

$$ \begin{align} J_{0,1} = \sqrt{\frac{G_{A}C_{a1}}{g_{0}g_{1}}} \\ J_{k,k + 1}|_{k = 1on - 1} = \sqrt{\frac{C_{ak}C_{a(k + 1)}}{g_{k}g_{k + 1}}} \\ J_{n,n + 1} = \sqrt{\frac{C_{an}G_{B}}{g_{n}g_{n + 1}}} \\ \end{align} $$

对于本次设计的带通滤波器，经过J变换之后我们期望得到的电路结构如下图所示^[3]：

$$ \left\{ \begin{matrix} {J_{0,1} = \sqrt{\frac{G_{A}W\omega_{0}C_{r1}}{g_{0}g_{1}}}} \\ {J_{k,k + 1}|_{k = 1on - 1} = W\omega_{0}\sqrt{\frac{C_{rk}C_{r(k + 1)}}{g_{k}g_{k + 1}}}} \\ {J_{n,n + 1} = \sqrt{\frac{W\omega_{0}C_{m}G_{B}}{g_{n}g_{n + 1}}}} \\ \end{matrix} \right. $$

式中，$L_{ri}$、$C_{ri}$为满足一定关系的任意值，$G_A$、$G_B$也为任意值，因此我们可以使用一些传输线等效的集总参数网络参量，这极大地方便了设计微带传输线滤波器网络。

4 带通滤波器的平行耦合线结构实现^[4]

我们期望采用的平行耦合线结构如下图，该结构能够实现带通滤波。

$$ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\frac{Z_{0e} + Z_{0o}}{Z_{0e} - Z_{0o}}{\cos\theta}} & {j\frac{\left( Z_{0e} - Z_{0o})^{2} - \left( Z_{0e} + Z_{0o})^{2}{\cos^{2}\theta} \right. \right.}{2\left\lbrack {Z_{0e} - Z_{0o}} \right\rbrack{\sin\theta}}} \\ {j\frac{2{\sin\theta}}{Z_{0e} - Z_{0o}}} & {\frac{Z_{0e} + Z_{0o}}{Z_{0e} - Z_{0o}}{\cos\theta}} \\ \end{bmatrix} $$

传输线部分的A矩阵:

$$ \begin{bmatrix} {cos\theta} & {jZ_{0}sin\theta} \\ {jsin\theta Z_{0}} & {cos\theta} \\ \end{bmatrix} $$

整个J型倒相器电路的A矩阵：

$$ \begin{bmatrix} {\left. JZ_{0} + \frac{1}{JZ_{0}} \right)sin\theta cos\theta} & {j\left( JZ_{0}^{2}{\sin^{2}\theta} - \frac{\cos^{2}\theta}{J} \right)} \\ {j\left( \frac{1}{JZ_{0}^{2}}{sin}^{2}\theta - J{cos}^{2}\theta \right)} & {\left( JZ_{0} + \frac{1}{JZ_{0}} \right)sin\theta cos\theta} \\ \end{bmatrix} $$

将以上两个整体A矩阵等价，可解出任意长度的奇模和偶模的阻抗：

$$ \left\{ \begin{matrix} {\frac{Z_{0e}}{Z_{0}} = \frac{1 + JZ_{0}{\csc\theta} + J^{2}Z_{0}^{2}}{1 - J^{2}Z_{0}^{2}{\cot^{2}\theta}}} \\ {\frac{Z_{0o}}{Z_{0}} = \frac{1 - JZ_{0}csc\theta + J^{2}Z_{0}^{2}}{1 - J^{2}Z_{0}^{2}{cot}^{2}\theta}} \\ \end{matrix} \right. $$

令$\theta$逼近$\pi/2$可得到简化的式子。
当几部分平行耦合线级联起来可以得到整个级联网络如下所示。

$$ \begin{cases} Z_{e1} = 74.6594 \Omega \\ Z_{o1} = 38.4511 \Omega \end{cases} \qquad \begin{cases} Z_{e2} = 56.2111 \Omega \\ Z_{o2} = 45.0374 \Omega \end{cases} \qquad \begin{cases} Z_{e3} = 54.4695 \Omega \\ Z_{o3} = 46.2123 \Omega \end{cases} $$

$$ \begin{cases} Z_{e4} = 54.4695 \Omega \\ Z_{o4} = 46.2123 \Omega \end{cases} \qquad \begin{cases} Z_{e5} = 56.2111 \Omega \\ Z_{o5} = 45.0374 \Omega \end{cases} \qquad \begin{cases} Z_{e6} = 74.6594 \Omega \\ Z_{o6} = 38.4511 \Omega \end{cases} $$

5 ADS仿真及优化

  先进设计系统 Advanced Design system（ADS）Agilent Technologies 是领先的电子设计自动化软件，适用于射频、微波和信号完整性应用。本次课程设计，我们基于ADS2021进行相关电路的设计及仿真优化。

5.1 原理图仿真及优化

首先设置介质基片参数

$50Ω,90^\circ$相移微带线尺寸计算

各个$90^\circ$相移平行耦合线尺寸计算

平行耦合线带通滤波器网络

随机优化过程（随机优化500次）

梯度优化过程（梯度优化27次）

5.2 版图仿真

在实际加工过程中，由于介质基板材料、微带线的连接情况等多种因素，实际电路S参数与原理图优化结果相差较大，因此我们需要对上述微波网络进行版图仿真。

版图仿真介质基板及导体材料设置

版图设计

6 总结

  在本次微波网络及其应用课程设计中，我们根据给定设计指标，选定切比雪夫滤波器类型，从低通原型滤波器出发，确定滤波器的低通原型参数、类型、阶数n值。 经过频率变换及J变换等，求出谐振器的输入导纳，以及导纳斜率参量，并求出倒置转换器的导纳参量，再根据倒置转换器与谐振器参量之间的关系，求出谐振器参量，最后求出谐振器的物理尺寸。并且，使用ADS对计算所得的带通滤波器集总参数电路、微波网络及版图进行仿真优化，得到了较为可靠且能运用于实际的模型。并在此过程中，熟悉了滤波器的设计流程，对巴特沃兹、切比雪夫等逼近函数有进一步的了解，加深了对平行耦合线奇偶模分析的认识，提高了Matlab编程计算能力，熟练掌握了ADS的使用。
  最后，李恩老师及助教在课程学习过程中的指导。祝愿李恩老师及助教学长科研顺利，身体健康。

7 附录

%计算切比雪夫型带通滤波器相关参数及平行耦合线实现
%if you can't see the Chinese character, please change your character format
 
clear all;
%%
%设计参数
%中心频率(Hz)
f0 = 2.4e9;
%带内波纹(dB)
Lr = 0.1;
%带外抑制(dB)
Ls = 28;
%通带上下边频(Hz)
fc1 = 2.3e9;
fc2 = 2.5e9;
%截止上下边频(Hz)
fs1 = 2e9;
fs2 = 2.8e9;
%输入输出特性阻抗(Ω)
Z0 = 50;
 
%%
%集总参数计算
%频率变换
W = (fc2-fc1)/f0;
f_s1 = -(fs1/f0-f0/fs1)/W;
f_s2 = (fs2/f0-f0/fs2)/W;
%计算阶数
N1 = acosh(sqrt(10^(0.1*Ls)-1)/sqrt(10^(0.1*Lr)-1))/acosh(f_s1);
N2 = acosh(sqrt(10^(0.1*Ls)-1)/sqrt(10^(0.1*Lr)-1))/acosh(f_s2);
 
N = max(N1,N2);
fprintf('滤波器阶数为%.4f\n',N);
 
%计算低通原型参量
N = ceil(N);
 
beta = log(coth(Lr/17.37));
gama = sinh(beta/(2*N));
a = zeros(1,N);
b = zeros(1,N);
g = zeros(1,N+1);
 
for i = 1:N
    a(i) = sin((2*i-1)*pi/(2*N));
    b(i) = gama^2+(sin(i*pi/N))^2;
end
 
g(1) = 2*a(1)/gama;
for j = 2:N
    g(j) = 4*a(j-1)*a(j)/(b(j-1)*g(j-1));
end
if(~mod(N,2))
    g(N+1) = (tanh(beta/4))^2;
else
    g(N+1) = 1;
end
 
%低通到带通的集总参数阻抗变换(电感输入式)
w0 = 2*pi*f0;
L = zeros(1,N);
C = zeros(1,N);
fprintf('\n');
fprintf('集总参数带通阻抗变换结果如下：\n');
for k = 1:N
    if (mod(k,2))
        L(k) = Z0*g(k)/(W*w0);
        C(k) = W/(Z0*g(k)*w0);
    else
        L(k) = Z0*W/(g(k)*w0);
        C(k) = g(k)/(Z0*W*w0);
    end
    fprintf('L[%d] = %.4fnH\n',k,L(k)*1e9);
    fprintf('C[%d] = %.4fpF\n',k,C(k)*1e12);
end
 
clear i j k;
%%
%平行耦合线实现
 
%电感输入式低通原型J变换至带通
%两端导纳
Ga = 1/50;
Gb = 1/50;
%设定平行传输线等效集总参数
Ca(1:N) = pi/(2*Z0*w0);
%计算变换器导纳
J = zeros(1,N+1);
J(1) = sqrt(Ga*W*w0*Ca(1)/(1*g(1)));
J(N+1) = sqrt(Gb*W*w0*Ca(N)/(g(N)*g(N+1)));
for i = 2:N
    J(i) = W*w0*sqrt(Ca(i-1)*Ca(i)/(g(i-1)*g(i)));
end
 
fprintf('\n');
fprintf('J变换器导纳：\n');
for j = 1:N+1
    fprintf('Yj[%d] = %.4f\n',j,J(j));
end
 
%%计算平行耦合线奇偶模阻抗
%奇偶模阻抗
Ze = zeros(1,N);
Zo = zeros(1,N);
for i = 1:N+1
    Ze(i) = (1+J(i).*Z0+(J(i).*Z0)^2).*Z0;
    Zo(i) = (1-J(i).*Z0+(J(i).*Z0)^2).*Z0;
end
 
fprintf('\n');
fprintf('耦合线奇偶模阻抗：\n');
for j = 1:N+1
    fprintf('Ze[%d] = %.4f\n',j,Ze(j));
    fprintf('Zo[%d] = %.4f\n',j,Zo(j));
end

参考文献

• [1]徐锐敏，方宙奇.微波网络及其应用[M]科学出版社，2010.
• [2]王亚亚. 微带带通滤波器的研究及设计[D].西安工业大学,2013.
• [3]向军. 微带线型带通滤波器的研究[D].电子科技大学,2011.
• [4]刘新红.平行耦合微带线带通滤波器分析与设计[J].无线电工程,2016,46(02):52-57.
• [5]王志刚. 微波毫米波前端中的LTCC技术研究[D].电子科技大学,2010.
• [6]王建平.一种LC带通滤波器阶数的求解方法[J].电子世界,2018(20):87+89.
• [7]夏祖学,杨羿华,梁尧.2.4GHz波段微带发夹型带通滤波器设计与馈电研究[J].西南科技大学学报,2013,28(04):81-84.
• [8]陈军. 基于ADS软件的微带线带通滤波器的设计[D].西华师范大学,2016.
• [9]陈仕靖. 腔体带阻滤波器设计与研究[D].电子科技大学,2016.