基于圆柱谐振腔的介质微扰测试方法（三）

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5 介质微扰

5.1 理论分析

  向谐振腔中一定区域填充某种材料的介质后,如果电磁场的某些参量发生微小变化,那么这种变化就是微扰。根据微扰理论,通过测量微扰前后电磁场某些参量的变化进而计算介质复介电常数的方法就是微扰法。[7]
假设有一个谐振腔,体积为$V$，内壁面积为$S$。微扰前腔体内填充媒质的介电常数为$\varepsilon$、磁导率为$\mu$。此时谐振腔的固有角频率、电场矢量、磁场矢量分别为$\omega_0$、$\vec{E}_0$、$\vec{H}_0$。那么微扰前,谐振腔空腔$V$内的电磁场满足麦克斯韦方程组与边界条件：
$$\nabla \times {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} = - j\omega_{0}\mu{\overset{\rightarrow}{H}}_{0}\tag{5.1-1}$$
$$\nabla \times {\overset{\rightarrow}{H}}_{0} = j\omega_{0}\varepsilon{\overset{\rightarrow}{E}}_{0}\tag{5.1-2}$$
$$\overset{\rightarrow}{n} \times {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} = 0\tag{5.1-3}$$
  将体积为$ΔV$的介质放入谐振腔之后产生扰动，其介电常数和磁导率分别为:$\varepsilon+Δ\varepsilon$、$\mu+Δ\mu$。固有角频率、电场矢量、磁场矢量依次为:$ω$、$\vec E$、$vec H$。此时区域$ΔV$内的电磁场满足麦克斯韦方程组与边界条件:

$$\nabla \times \overset{\rightarrow}{E} = - j\omega\left( {\mu + \Delta\mu} \right)\overset{\rightarrow}{H}\tag{5.1-4}$$
$$\nabla \times \overset{\rightarrow}{H} = - j\omega\left( {\varepsilon + \Delta\varepsilon} \right)\overset{\rightarrow}{H}\tag{5.1-5}$$
$$\overset{\rightarrow}{n} \times {\overset{\rightarrow}{E}} = 0\tag{5.1-6}$$
由矢量恒等式：
$$\overset{\rightarrow}{B} \cdot \left( {\nabla \times \overset{\rightarrow}{A}} \right) - \overset{\rightarrow}{A} \cdot \left( {\nabla \times \overset{\rightarrow}{B}} \right) = \nabla \cdot \left( {\overset{\rightarrow}{A} \times \overset{\rightarrow}{B}} \right)\tag{5.1-7}$$
将$\overset{\rightarrow}{E_0^*}\times 式(5.1-2)-式(5.1-4)^*\overset{\rightarrow}{H}$
应用矢量恒等式得：
$$\nabla \cdot \left( {\overset{\rightarrow}{H} \times {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*}} \right) = j\omega\left( {\varepsilon + \Delta\varepsilon} \right)\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} - j\omega_{0}\mu\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}\tag{5.1-8}$$
将式（5.1-1）和式（5.1-3）作类似运算得：
$$\nabla \cdot \left( {{\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*} \times \overset{\rightarrow}{E}} \right) = - j\omega_{0}\varepsilon\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} + j\omega\left( {\mu + \Delta\mu} \right)\overset{\rightarrow}{H} \cdot{\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}\tag{5.1-9}$$
再将式（5.1-8）与式（5.1-9）相加后对$V$积分，应用散度定理和边界条件可得：
$$0 = {\int_{V}\left\lbrack {\omega\left\lbrack {\varepsilon + \Delta\varepsilon} \right\rbrack\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} - \omega_{0}\varepsilon\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} + \omega\left\lbrack {\mu + \Delta\mu} \right\rbrack\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*} - \omega_{0}\mu\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}} \right\rbrack}dV\tag{5.1-10}$$
即：
$$\frac{\omega - \omega_{0}}{\omega} = - \frac{\int_{V}{\left( {\Delta\varepsilon\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} + \Delta\mu\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}} \right)dV}}{\int_{V}{\left( {\varepsilon\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} + \mu\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}} \right)dV}}\tag{5.1-11}$$
虽然$\Delta V$中$\Delta \varepsilon$、$\Delta \mu$值可能较大，但由于$\Delta V$很小，故式（5.1-11）中的分母中的$\overset{\rightarrow}{E}$、$\overset{\rightarrow}{E}$可近似用$\overset{\rightarrow}{E_0}$、$\overset{\rightarrow}{H_0}$代替。$\overset{\rightarrow}{E} \approx \overset{\rightarrow}{E_0}$，$\overset{\rightarrow}{H} \approx \overset{\rightarrow}{H_0}$。$\Delta V$中的$\overset{\rightarrow}{E}$、$\overset{\rightarrow}{H}$可认为是常数，用静态场代替。

图（5.1-1）介质模型图（5.1-1）介质模型

图（5.1-1）中$H_里=H_外$，此时式（5.1-11）可表示为
$$\frac{\omega - \omega_{0}}{\omega} \approx - \frac{\int_{\Delta V}{\left( {\Delta\varepsilon\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*} + \Delta\mu\overset{\rightarrow}{H} \cdot {\overset{\rightarrow}{H}}_{0}^{*}} \right)dV}}{\int_{V}{\left( {\varepsilon\left| {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} \right|^{2} + \mu\left| {\overset{\rightarrow}{H}}_{0} \right|^{2}} \right)dV}}\tag{5.1-12}$$
由式（5.1-12）可以看出$\overset{\rightarrow}{E}\approx 0$，$\overset{\rightarrow}{H}\approx 0$处放入介质微扰均使受腔的谐振频率降低。对于有耗介质微扰，上述公式依旧成立，但介质常数和谐振频率均要用复数形式代入，即
$$\mu = \mu_{0}，\Delta\mu = 0\tag{5.1-13} $$
$$\varepsilon = \varepsilon_{0}\left( {\varepsilon^{'}\text{-j}\varepsilon^{''}} \right)\tag{5.1-14}$$
$$\omega_{0}^{'} = \omega_{0} + j\frac{\omega_{0}}{2Q_{0}}\tag{5.1-15} $$
$$\omega^{'} = \omega + j\frac{\omega}{2Q}\tag{5.1-16}$$
则：
$$\frac{\omega + j\frac{\omega}{2Q} - \omega_{0} + j\frac{\omega_{0}}{2Q_{0}}}{\omega + j\frac{\omega}{2Q}} = \frac{- \varepsilon_{0}\left( {\varepsilon^{'}\text{-1-j}\varepsilon^{''}} \right){\int_{\Delta V}{\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*}dV}}}{\int_{V}{\left( {\varepsilon\left| {\overset{\rightarrow}{E}}_{0} \right|^{2} + \mu\left| {\overset{\rightarrow}{H}}_{0} \right|^{2}} \right)dV}}\tag{5.1-17}$$
式（5.1-17）右边分母为四倍总储能$4W$。若$Q_0$很高，可略去$j\frac{ω}{2Q}$项，式（5.1-17）分成两项得[8]
$$\frac{\omega - \omega_{0}}{\omega} = - \varepsilon_{0}\left( {\varepsilon^{'}\text{-1}} \right)\frac{\int_{\Delta V}{\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*}dV}}{4W}\tag{5.1-18}$$
$$\frac{1}{2Q} - \frac{1}{2Q_{0}} = \varepsilon_{0}\varepsilon^{''}\frac{\int_{\Delta V}{\overset{\rightarrow}{E} \cdot {\overset{\rightarrow}{E}}_{0}^{*}dV}}{4W}\tag{5.1-19}$$
可见，有耗介质的实部引起谐振频率偏移，虚部引起空腔$Q_0$改变。由此可以通过测量$\Delta f$和$\Delta Q$来确定$\varepsilon'$和$\varepsilon^{''}$。
介质的相对复介电常数实部和损耗角正切分别为:
$$\varepsilon_{r}^{'} = \frac{\varepsilon^{'}}{\varepsilon_{0}} \tag{5.1-20}$$
$${\mathit{\tan}\delta} = \frac{\varepsilon^{''}}{\varepsilon^{'}} \tag{5.1-21}$$

5.2 模型构建及计算

观察$TE_{011}$模的场分布可知电场沿环向方向最强，为方便计算，可采用盘状或环状介质。盘状介质放在距中心$3r/4$处最佳，尺寸不宜过大。

图（5.2-1）$R=60mm$、$r=1mm$的环状介质模型图（5.2-1）$R=60mm$、$r=1mm$的环状介质模型

图（5.2-2）$R=45mm$、$r=6mm$、$h=3mm$的盘状介质模型图（5.2-2）$R=45mm$、$r=6mm$、$h=3mm$的盘状介质模型

图（5.2-3）$r=68mm$、$h=2mm$的盘状介质模型图（5.2-3）$r=68mm$、$h=2mm$的盘状介质模型

由上述理论分析可知，求解难点在于场的能量，手工计算可以采取一些函数近似的方法，这里我们利用HFSS的场计算器快捷求解腔体电场能量及介质内部场能量。
图（5.2-4）HFSS场计算器图（5.2-4）HFSS场计算器

图（5.2-5）场能量计算步骤图（5.2-5）场能量计算步骤

针对介质的能量计算我们采取了一些便捷方法，对腔体和介质的内部场能量采取同一计算式，利用MATLAB编辑公式计算介电常数的实部和虚部。

5.3 计算结果及分析

5.3.1 环状模型

$varepsilon = 2.5$、$tan \delta = 0.002$、$R=60mm$ :

r(mm)$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
10.5479-1.9503-78.0112%0.00530.0032159.3728%
22.1721-0.3279-13.1178%0.00210.0000683.4009%
32.1788-0.3212-12.8490%0.00220.0000199.9753%

$varepsilon = 2.5$、$tan \delta = 0.002$、$r=2mm$ :

R(mm)$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
301.9104-0.5896-23.5846%0.00220.0002211.1874%
42.52.3328-0.1672-6.6895%0.0020x-0.000026-1.3457%
602.1721-0.3279-13.1178%0.00210.0000683.4009%

$R=42.5mm$、$tan \delta = 0.002$、$r = 2mm$ :

$\varepsilon$$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
1.51.3908-0.1092-7.2802%0.00190.000082-4.0812%
2.52.3328-0.1672-6.6895%0.0020x-0.000026-1.3457%
4.54.2785-0.2215-4.9220%0.0020x0.000021.0271%

5.3.2 非中心盘状模型

$\varepsilon=2.5$、$tan \delta = 0.002$、$h = 0.5r$ 介质与谐振腔中心轴线的距离为$45mm$水平放置:

r(mm)$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
45.46732.9673118.69%0.000933-0.00106-53.35%
295.179192.67913707.16%0.0000418-0.00196-97.91%

5.3.3 中心盘状模型

$h=2mm$、$a=0.55r= 46.75mm$ :

$\varepsilon$$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)$$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
1.51.51560.01561.0404%0.0020.0020x0.0000271.3630%
2.252.2307-0.0193-0.8566%0.0010.000997-0.000003-0.2539%
3.63.4799-0.1201-3.3350%0.0030.00310.0000872.9193%
5.55.1391-0.3709-6.5625%0.0040.00430.0000266.6207%

$h = 2mm$、$a = 0.8r = 68mm$ :

$\varepsilon$$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)$$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
1.51.4763-0.0237-1.5807%0.0020.0020x0.0000341.6786%
2.252.2064-0.0439-1.9383%0.0010.0010x0.0000161.6441%
3.63.4943-0.1057-2.9358%0.0030.00310.0000872.9193%
5.55.3012-0.1988-3.6139%0.0040.00420.0001543.8840%

5.3.4 同心环状模型

$\Delta r= 6mm$、$\varepsilon = 3.3$、$tan \delta = 0.002$ :

$R_a(mm)$$R_b(mm)$$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
18.2524.253.184-0.11600-3.509% 00.002050.0000592.996%
42483.30140.001400.0429%0.00199-0.000003-0.1621%
60.7566.753.099-0.20100-6.085%0.002160.000167.765%

$\frac{R_a+R_b}{2}=45mm$、$\varepsilon = 3.3$、$tan \delta = 0.002$ :

$Delta r(mm)$$\varepsilon_x$绝对误差相对误差$(tan \delta)_x$绝对误差相对误差
63.30140.001400.0429%0.00199-0.000003-0.1621%
263.2578-0.04220-1.278%0.002020.0000231.126%
463.236-0.06400-1.943%0.002040.0000391.989%

6 微扰误差讨论

6.1 材料尺寸对测量误差的影响

  由上述数据分析可知，对于在同介质参数同谐振频率同位置的介质，尺寸过大或过小均 会对测量结果产生较大影响。当尺寸介于$\frac{1}{4} \ sim \frac{1}{8}$谐振腔半径时测量效果较为理想；当尺寸过小时，由于介体积成立方减小，计算结果出现剧烈变化；当尺寸过大时，谐振腔匹配条件被破坏，使得测量误差逐渐递增，失去可信度。

6.2 材料位置对测量误差的影响

  由上述数据分析可知，对于$TE_{01p}$模，电介质最佳位置为$\frac{1}{2}$半径环上，高度位于谐振腔中心点，且与$TE_{01p}$模电场相切的材料测量误差较小，与电场相垂直的材料测量误差较大，其中环状介质最佳，盘状介质其次，竖状介质最差；磁介质最佳位置为谐振腔中心点，与磁场相垂直的材料测量结果最佳，与磁场相切的材料测量误差较大，其中盘状介质最佳，竖状介质其次，环状介质最差。

6.3 材料参数对测量误差的影响

  由上述数据分析可知，在介质损耗正切角不变的情况下，材料介电常数越大（（$\sqrt{\varepsilon_r}\lambda < \frac{1}{2}$谐振腔波长）材料测量误差越小，反之误差越大。在介电常数不变的情况下，损耗正切角越 小测量误差越大，反之测量误差越小。

6.4 谐振频率对测量误差的影响

由资料2可知，当谐振频率较低（ $0.5GHz \sim 2GHz$）时，适于测量介电常数较大、 损耗角正切较小的介质，反之误差较大；当谐振频率较高（ $ > 8GHz$ ）时，适于测量介电常数较小、损耗角正切较大的介质，反之误差较大。

7 多频点测量技术讨论

由第二节分析可知，要实现同一谐振腔在不同频点对围绕介质的参数测量，我们有如下两种方法。

7.1 激励法

  由于孔耦合的激励特性，我们可以使用$TE_{01p}$的奇次模或偶次模进行介质参数的测量。在$2 \sim 4GHz $频带内，经设计后的腔体共有$TE_{011}$、$TE_{012}$、$TE_{013}$三种可供选择的测量模式， 我们选择$TE_{011}$、$TE_{013}$ 模。在变更激励模式时，我们只需装卸对应模式的波导激励装置，即可改变谐振腔工作频点。在实际工作时，我们需要在耦合装置上添加调谐装置以达到最佳工作模式。由于$TE_{01p}$、$TE_{01p+2}$之间的频带较宽，此方法适用于需在较大频点变化的介质参数测量。

7.2 活塞法

  由图（3.2.2-3）非接触式活塞工作方式可知，调节活塞深度即可调节谐振腔工作腔长，从而改变谐振腔谐振频点，实现在不同频点下对介质参数的测量。由于活塞深度的调节对谐振频率变化的影响并不剧烈，此方法适用于需在微小频点变化的介质参数测量。

8 附录

8.1 谐振腔尺寸、$TE_{01p}$模$f$及$Q$值计算程序

%针对圆柱形谐振腔TE01p模的尺寸选择计算

clear all;clc;

%设定谐振频率截止范围 fc_1 < f < fc_2 单位Hz
fc_1 = 2e9;
fc_2 = 4e9;

%光速
c = 299792458;

%第一类零阶贝塞尔函数导数第一个根
u1 = 3.8317;
%第一类零阶贝塞尔函数导数第二个根
u2 = 7.0156;

%半径取值范围计算（此范围只有TE01p模，无TE02p模）
r1 = c*u2/(2*pi*fc_2);
r2 = c*u1/(2*pi*fc_1);

if r1>r2
    fprintf("没有合适的半径\n"); 
else
    fprintf("半径取值范围为%fmm < r < %fmm\n",r1*1000,r2*1000);
end

%计算模式频率及Q值

%取半径值 单位m
r = 0.085;

%设定谐振腔长度 单位m
L = 0.16;

%铜的磁导率和电导率
mu = 0.999991*pi*4e-7;
delta = 5.8e7;

%模式数
p = 4;

%创建矩阵
%TE01p模的频率、Q、导波波长、趋肤深度值
f_01p = zeros(p,1);
Q_01p = zeros(p,1);
lambda_01p = zeros(p,1);
delta_01p = zeros(p,1);

%TE02p模的频率、Q、导波波长、趋肤深度值
f_02p = zeros(p,1);
Q_02p = zeros(p,1);
lambda_02p = zeros(p,1);
delta_02p = zeros(p,1);

for i = 1:p
    %TE01p模
    f_01p(i) = sqrt((0.5*c*i/L)^2+fc_1^2);
    lambda_01p(i) = 2/sqrt((u1/(r*pi))^2+(i/L)^2);
    delta_01p(i) = 1/sqrt(pi*f_01p(i)*mu*delta);
    Q_01p(i) = lambda_01p(i)*(1-(1/u1)^2)*(u1^2+(i*r*pi/L)^2)^1.5/(2*pi*(u1^2+2*(pi*i)^2*(r/L)^3)*delta_01p(i));
    %TE02p模
    f_02p(i) = sqrt((0.5*c*i/L)^2+fc_2^2);
    lambda_02p(i) = 2/sqrt((u2/(r*pi))^2+(i/L)^2);
    delta_02p(i) = 1/sqrt(pi*f_02p(i)*mu*delta);
    Q_02p(i) = lambda_02p(i)*(1-(2/u1)^2)*(u1^2+(i*r*pi/L)^2)^1.5/(2*pi*(u2^2+2*(pi*i)^2*(r/L)^3)*delta_02p(i));
end

%TE01p模参数绘图
figure(1);
%绘制点
plot(f_01p,Q_01p,'*r');
%绘制竖线
hold on;
for i = 1:p
    plot([f_01p(i),f_01p(i)],[0,Q_01p(i)],'r');
end
hold off;
%绘制网格
grid on;
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('Q值');

%TE01p、TE02p模参数绘图
f_0np = [f_01p;f_02p];
Q_0np = [Q_01p;Q_02p];
figure(2);
%绘制点
plot(f_0np,Q_0np,'*r');
%绘制竖线
hold on;
for i = 1:p*2
    plot([f_0np(i),f_0np(i)],[0,Q_0np(i)],'r');
end
hold off;
%绘制网格
grid on;
xlabel('频率(Hz)');
ylabel('Q值');

8.2 介电常数及损耗角正切的求解程序

%%谐振腔有耗介质介电常数实部以及损耗角正切值计算
f=2.35471;    %改变后谐振频率
f_0=2.36804;  %原谐振频率

Q_s=11286.2;  %改变后Q值
Q_0=58007.6;  %原Q值

%能量
W_e=0.047580810102597;  %介质内场能量
W_E=W_e;
W=1.00080511682499;     %总场能量
W_ALL=4*W;

%计算
epsl_real=1+((f_0-f)/f)*(W_ALL/W_E);      %实部
epsl_imag=(0.5/Q_s-0.5/Q_0)*(W_ALL/W_E);  %虚部
loss_tan=epsl_imag/epsl_real;

%误差
epsl_0=1.5;        %所选介质介电常数实部
loss_tan_0=0.002;  %所选介质损耗角正切
error_real=-100*(epsl_0-epsl_real)/epsl_0;             %实部误差
error_loss_tan=-100*(loss_tan_0-loss_tan)/loss_tan_0;  %虚部误差 
%结果输出
disp('epsl_real=');
disp(epsl_real);

disp('loss_tan=');
disp(loss_tan);

disp('error_real=');
disp(error_real);
disp('error_loss_tan=');
disp(error_loss_tan);

此部分参考资料

  • [7]董筱博. 基于LabVIEW的介质复介电常数无损自动测试研究[D].电子科技大学,2012.
  • [8]徐锐敏，唐璞，薛正辉，雷振亚.微波技术基础（修订版）.科学出版社P190~P191.
  • [9]胡鹏. 大尺寸样品介电常数测试系统研究与应用[D].电子科技大学,2010.

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  1. 黄瓤西瓜瓜 黄瓤西瓜瓜

    妙哇！

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