低噪声放大器设计 - 雨中执笔

这篇文章距离上次修改已过648天，其中的内容可能已经有所变动。

0 题目

设计一低噪声放大器并使其增益尽可能地高；电路制作在Duroid基片上 $\varepsilon_r=10$ 、$h=1.27mm$。场效应晶体管在$3GH_Z$、$100MH_Z$带宽时的S参数如下：

$$ \begin{cases} S_{11}=0.9\angle-90^\circ \\ S_{12}=0 \\ S_{21}=2\angle 90^\circ \\ S_{22}=0.5\angle-45^\circ \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \Gamma_{opt}=0.5\angle135^\circ \\ F_{min}=3dB \\ R_N=4\Omega \end{cases} $$

求：

拥有最小噪声系数的总增益
设计放大器电路的输入、输出匹配网络
绘制具体电路图，详述设计过程
若输入信号为$-20dB$，分别对理想无噪声信号和噪声温度为$100K$时，计算放大器输出功率和输出噪声
当输入噪声温度为$100K$时，计算输入信噪比与输出信噪比的比值
利用公式计算微带线有效介电常数$\varepsilon_e$、$Z_0$，微带线金属导体厚度$t=35\mu m$

1 增益计算

1.1 稳定性判断

由$K-\Delta$法则：

$$ \begin{cases} K=\frac{1- |S_{11}|^2-|S_{22}|^2+|\Delta|^2}{2|S_{21}S_{12}|}>1 \\ 1-|S_{11}|^2>|S_{12}S_{21}| \\ 1-|S_{22}|^2>|S_{12}S_{21}| \\ \Delta=S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21} \end{cases} $$

故该晶体管在$3GH_Z$是绝对稳定的。
为时噪声系数最小，选择最佳信源反射系数$\Gamma_{opt}$，此时放大器输入匹配网络使管子端口满足：

$$ \Gamma_s=\Gamma_{opt} $$

如下图所示，输入匹配网络$M_1$完成$\Gamma_s'$到$\Gamma_{opt}$的变换，而$\Gamma_{opt}$和$\Gamma_{in}$之间的关系从信号功率匹配传输的角度看是失配的，但可以取得最小噪声系数，称之为“最佳噪声匹配”。

最佳噪声匹配

按最小噪声系数设计放大器使时，为保持输出功率，其输出端通常按共轭匹配设计，即设计输出匹配网络使管子端口满足：

$$ \Gamma_{L}=\Gamma_{out}^*= \left ( S_{22}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_{opt}}{1-S_{11}\Gamma_{opt}}\right)^* $$

负载的吸收功率$P_L$等于放大器输出端的资用功率$P_{La}$，这样放大器可以在实现最小噪声系数的前提下得到较大的增益，此时放大器的转换功率增益$G_T$等于其资用功率增益$G_a$

1.2 资用功率增益

定义$G_a$为放大器输出端的资用功率$P_{La}$与信号源资用功率$P_a$之比。
放大器输出端的资用功率为：

$$ P_{La}=P_L|_{\Gamma_L=\Gamma_{out}^*}\\ b_2=S_{21}a_1+S_{22}a_2=S_{21}a_1+S_{22}b_2\Gamma_L\\ $$

故：

$$ b_2=\frac{S_{21}a_1}{1-S_{22}\Gamma_L} $$

可以求出放大器在输出端口的等效波源，如下图所示

放大器等效输出波源

根据等效波源的物理意义，有：

$$ a_0=\frac{S_{21}a_s}{1-S_{11}\Gamma_S} $$

$2-2'$端口的输出资用功率为

$$ \begin{aligned} P_{La}&=\frac{|a_0|^2}{1-|\Gamma_{out}|^2} \\ & =\frac{|S_{21}|^2|a_s|^2}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2-|S_{22}-\Delta \Gamma_S|^2}\\ \end{aligned} $$

信号源资用功率：

$$ \begin{aligned} P_a &=\frac{|a_s|^2}{|1-\Gamma_{in}\Gamma_S|^2} \cdot \left( |1-\Gamma_{in}|^2 \right)|_{\Gamma_{in}=\Gamma_S^*}\\ &=\frac{|a_s|^2}{1-|\Gamma_S|^2} \end{aligned} $$

则：

$$ \begin{aligned} G_a &= \frac{P_{La}}{P_a}\\ &= \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2-|S_{22}-\Delta \Gamma_S|^2}\\ &= \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)}{1-|S_{22}|^2+|\Gamma_S|^2(|S_{11}|^2-|\Delta|^2)-2Re(\Gamma_SC)}\\ \end{aligned} $$

其中$C=S_{11}-S_{22}^*\Delta$
带入数据计算得：

$$ G_a =\frac{4\cdot(1-0.25)}{1-0.25+0.25\cdot(0.81-0.45^2)-0.3375\cdot \sqrt 2} \approx 7.066\approx8.492dB $$

2 匹配设计

2.1 匹配圆图

我们利用ADS的圆图工具进行匹配设计。进入ADS，找到S参数仿真，搭建如图所示输入网络$Term1$为输入阻抗，$Term2$为等效输出端口。

由上述分析可知，为使噪声系数最小，需：

$$ \Gamma_S=\Gamma_{opt} $$

打开圆图工具，选择导纳圆图，分别输入源、负载端对应的数据：

可以看到换算出的负载阻抗，即为上示电路的负载阻抗值。利用圆图工具提供的微带电路进行匹配

先串联一段微带线移相至匹配圆，再并联一段终端开路微带线匹配至匹配点。结果如下：

圆图匹配细节

再对输出网络进行匹配，由：

$$ \begin{aligned} \Gamma_{L}=\Gamma_{out}^* &= \left ( S_{22}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_{opt}}{1-S_{11}\Gamma_{opt}}\right)^*\\ &= S_{22}^*\\ &= 0.5\angle45^\circ \end{aligned} $$

搭建如图输出网络：

打开圆图工具输入参数，匹配结果如下

2.2匹配电路

由上述匹配圆图可导出匹配电路模型：

输入匹配电路模型

输出匹配电路模型

设定介质基片参数

设定金属电导率$Cond=5.88e7$、封装高度$Hu=10mm$、金属层厚度$T=35\mu m$、损耗角正切$TanD=0.0022$、表面粗糙度$Rough=0mm$
这里我们设定微带线特性阻抗为$50\Omega$，带入上述电长度，利用$LineCalc$工具计算微带线尺寸：

最终得输入、输出网络微带尺寸为：

$$ \begin{cases} in: l_1=5.27mm\qquad l_2=0.80mm\qquad w_1=w_2=1.17mm\\ out:l_1=4.03mm\qquad l_2=4.35mm\qquad w_1=w_2=1.17mm \end{cases} $$

最终电路为：

3 输出功率和噪声

由上述设计过程知，系统的噪声系数即为最小噪声系数：

$$ F=F_{min}=3dB $$

3.1 理想无噪声信号

对于理想无噪声信号，输入信号$S_i=-20dB$
则

$$ S_{out1}=S_{in}G_a=-11.51dB\qquad N_{out1}=KT_0 B G_a \approx -115.5dB=-85.5dBm $$

其中$k$为玻尔兹曼常数$k=1.38\times 10^{-23}J/K$，$B$为带宽，$T_0=290K$为常温

3.2 100K噪声温度

当噪声温度为$100K$时：
$$T = (F-1)T_0+100K=390K$$

$$ S_{out2}=S_{in}G_a=-11.51dB\qquad N_{in}=kT_0B \qquad N_{out2} = kTBG_a $$

$$ \begin{aligned} N_{in}&=kTB\\ &= 1.38\times 10^{-23}\cdot 100\cdot100\times 10^6\\ &\approx-128.6dB\\ &= -98.6dBm \\ N_{out2} &= N_{in}G_a+(F-1)kTBG_a\\ &\approx -114.2dB\\ &= -84.2dBm \end{aligned} $$

3.3 信噪比比值

当噪声温度为$100K$时，由上述计算可知：

$$ SNR_{in}=\frac{S_{in}}{N_{in}}=78.6dB $$

$$ SNR_{out}=\frac{S_{out2}}{N_{out2}}=72.69dB $$

则：

$$ \frac{SNR_{in}}{SNR_{out}}=5.91dB\ne 3dB $$

4 等效介电常数和特征阻抗

4.1 等效介电常数

在不考虑色散的前提下：

$$ \varepsilon_e=\frac{\varepsilon_r+1}{2}+\frac{\varepsilon_r-1}{2}F \left(\frac{W}{h}\right)-\frac{\varepsilon_r-1}{4.6}\frac{t/h}{\sqrt{W/h}} $$

其中

$$ F \left(\frac{W}{h}\right)= \begin{cases} \left(1+\frac{12h}{W}\right)^{-1/2}+0.04\left(1-\frac{W}{h}\right)^2, & \frac{W}{h}\le 1\\ \left(1+\frac{12h}{W}\right)^{-1/2}, & \frac{W}{h}\ge 1 \end{cases} $$

$W$为微带线宽度，$h$为介质基片厚度，$t$为微带线金属导体厚度
由上述四条微带线的宽度均相等，计算得：

$$ F \left(\frac{1.17}{1.27}\right)=\left(1+\frac{12\times 1.27}{1.17}\right)^{-1/2}+0.04\left(1-\frac{1.17}{1.27}\right)^2\approx0.26726 $$

$$ \varepsilon_{e}=\frac{10+1}{2}+\frac{10-1}{2}F \left(\frac{1.17}{1.27}\right)-\frac{10-1}{4.6}\times\frac{35\times 10^{-3}/1.27}{\sqrt{1.17/1.27}}\approx6.65 $$

4.2 特征阻抗

由特征阻抗计算式：

$$ Z_0= \begin{cases} \frac{\eta_0}{2\pi \sqrt{\varepsilon_e}}ln\left(\frac{8h}{W'}+0.25\frac{W'}{h}\right),&\frac{W}{h}\le 1\\ \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_e}}\left[\frac{W'}{h}+1.393+0.667 ln\left(\frac{W'}{h}+1.444\right)\right],&\frac{W}{h}\ge 1 \end{cases} $$

其中

$$ \frac{W'}{h}= \begin{cases} \frac{W}{h}+\frac{1.25}{\pi} \frac{t}{h} \left(1+ln\frac{4\pi W}{t}\right),&\frac{W}{h}\le\frac{1}{2\pi}\\ \frac{W}{h}+\frac{1.25}{\pi} \frac{t}{h} \left(1+ln\frac{2h}{t}\right),&\frac{W}{h}\ge\frac{1}{2\pi} \end{cases} $$

带入计算得：

$$ \frac{W'}{h}=\frac{1.17}{1.27}+\frac{1.25}{\pi} \frac{35\times10^{-3}}{1.27} \left(1+ln\frac{2\times 1.27}{35\times10^{-3}}\right)\approx0.97921 $$

$$ Z_0=\frac{120\pi}{2\pi \sqrt{6.65}}ln\left(\frac{8h}{W'}+0.25\frac{W'}{h}\right)\approx49.56 \Omega $$

据计算结果可见，设计的微带线阻抗十分接近$50\Omega$的理想阻抗。

5 总结

经过本次课程设计，我更加深入地了解到了低噪声放大器的设计方法，加深了对“最小噪声匹配”及微带线特性阻抗计算的理解。实际计算并设计了最小噪声匹配、共轭匹配网络，并对设计的微带线特性阻抗计算验证；熟悉了ADS中$SmithChart$、$LineCalc$等工具。对自身独立设计微波电路能力有了进一步的提升，感谢张永鸿老师的教导，最后祝愿张老师身体健康，工作顺利。