基于ADS的巴特沃兹低通滤波器设计

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一、方案分析

  指标要求:设计一个巴特沃兹滤波器,给出实现方框图。滤波器指标:通带截止频率$1kHz$,通带最大衰减$1dB$,阻带起始频率$10KHz$,阻带最小衰减$40dB$。
  根据指标要求,易知这是一个较低频率的低通滤波器。依据书本内容,可以从N阶巴特沃兹低通滤波器的频率响应函数入手,利用拉普拉斯变换得到归一化系统函数,推导其代数属性及方框图。根据其方框图,得到低通原型滤波器,根据设计要求去归一化搭建实际电路,最终利用ADS2019进行S参数仿真得到仿真结果。

二、设计原理

一个N阶低通巴特沃兹滤波器频率响应函数的模平方为:
$$\left| {B\left| {j\omega} \right|} \right|^{2} = \frac{1}{1 + \left( \frac{j\omega}{j\omega_{c}} \right)^{2N}}$$
则:
$$N = \frac{lg\left( {10^{\frac{L_{As}}{10}} - 1} \right)}{2lg\left( \frac{\omega_{s}}{\omega_{c}} \right)}$$

  其中$L_{As}$为阻带起始频率处系统函数的功率增益,$ω_c$为阻带起始频率。通过该式我们可以根据滤波器指标要求计算滤波器阶数。
限制该滤波器的单位冲击响应为实值函数,则$B(s)=B(jω)$有
$$B\left( s \right)B\left( {- s} \right) = \frac{1}{1 + \left( \frac{s}{j\omega_{c}} \right)^{2N}}$$
其中分母多项式的根即为$B(s)B(-s)$的极点:
$$s_{k} = \left( {- 1} \right)^{\frac{1}{2N}}\left( {j\omega_{c}} \right) = \omega_{c}e^{({j{\lbrack{\frac{\pi{\lbrack{2k + 1}\rbrack}}{2N} + \frac{\pi}{2}}\rbrack}})}~~~k = 0,1,2\ldots$$

N=1、2、3、6时,极点位置N=1、2、3、6时,极点位置

为使系统为因果且稳定的,则取左半平面半圆上的点
$$B\left( s \right) = \frac{\omega_{c}^{N}}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {s - s_{k}} \right)}$$
归一化得:
$$G\left( \frac{s}{\omega_{c}} \right) = \frac{1}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {\frac{s}{\omega_{c}} - \frac{s_{k}}{\omega_{c}}} \right)}$$
令$p=\frac{s}{ω_c}$ 则$p_k=\frac{s_k}{ω_c}$
则归一化巴特沃兹传递函数:
$$G\left( p \right) = \frac{1}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {p - p_{k}} \right)}$$
$$p_{k} = e^{j{\lbrack{\frac{\pi{\lbrack{2k + 1}\rbrack}}{2N} + \frac{\pi}{2}}\rbrack}}~~~k = 0,1,2\ldots$$
展开得:
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{N} + b_{N - 1}p^{N - 1} + \ldots + b_{1}p + b_{0}}$$
当$N=1$时:
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p+1}$$
当$N=2$时:
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{2} + \sqrt{2}p + 1}$$
当$N=3$时:
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{3} + 2p^{2} + 2p + 1}$$
在阻抗匹配的情况下,信源内阻$R_s$与负载阻抗$R_l$相等。
反射系数:
$$\rho\left( p \right)\rho\left( {- p} \right) = 1 - \frac{4R_{s}}{R_{l}}G\left( p \right)G\left( {- p} \right) = \frac{p^{N}\left( {- p} \right)^{N}}{G_{N}\left( p \right)G_{N}\left( {- p} \right)}$$
归一化反射系数:
$$\rho\left( p \right) = \frac{p^{N}}{G_{N}\left( p \right)}$$
阻抗函数:
$$Z_{11}\left( p \right) = R_{s}\frac{1\mp\rho\left( p \right)}{1 \pm \rho\left( p \right)} = R_{s}\frac{G_{N}\left( p \right)\mp p^{N}}{G_{N}\left( p \right) \pm p^{N}}$$
这里我们采用:
$$Z_{11}\left( p \right) = \frac{G_{N}\left( p \right) - p^{N}}{G_{N}\left( p \right) + p^{N}}$$
将该阻抗函数展开为阶梯网络得:
低通滤波器原型低通滤波器原型

其中:
$$g_0=g_{n+1}=1$$
$$g_{i} = 2{\sin\left( {\frac{2i - 1}{2n}\pi} \right)},i = 1,2\ldots n$$
即为低通原型滤波器。
巴特沃兹低通原型滤波器元件归一化值巴特沃兹低通原型滤波器元件归一化值

为实现滤波器指标要求,需要对其中的元件值重新计算,即去归一化。

$$ \begin{cases} {R_{0} = R_{s}g_{0}} \\ {R_{n + 1} = R_{s}g_{0}} \\ {L_{i} = \frac{R_{s}g_{i}}{\omega_{c}}} \\ {C_{i} = \frac{g_{i}}{{R_{s}\omega}_{c}}} \\ \end{cases} $$

即可得到需求电路。

三、设计过程

1.求解阶数

$$N = \frac{lg\left( {10^{\frac{L_{As}}{10}} - 1} \right)}{2lg\left( \frac{\omega_{s}}{\omega_{c}} \right)}$$

$$ \begin{cases} {L_{As} = 40} \\ {\omega_{s} = {2\pi*10}^{4}} \\ {\omega_{c} = {2\pi*10}^{3}} \\ \end{cases} $$

得$N=1.999$ 取$N=2$
故需设计一个二阶的巴特沃兹滤波器。低通原型如下:

二阶巴特沃兹低通原型二阶巴特沃兹低通原型

2.去归一化

由上文所述的低通原型滤波器归一化值及去归一化公式可得:

$$ \begin{cases} {L_{1} = 11.254mH} \\ {C_{1} = 4.501\mu F} \\ \end{cases} $$

四、设计结果

计算出的实际电路参数计算出的实际电路参数

依据计算结果搭建电路,设置S参数仿真频率范围。

五、仿真验证

幅频特性曲线幅频特性曲线

相频特性曲线相频特性曲线

  通过幅频特性曲线可以知道,在$-3dB$点处,$f=1.001KHz$即为需求截止频率;$f=10KHz$的阻带衰减为$40dB$满足设计需求;总体来讲完成了滤波器的设计。

六、总结

  通过本次的课程设计,我了解到了巴特沃兹低通滤波器的工作原理、基本特性;了解到了如何依据参数设计基于低通原型滤波器的巴特沃兹滤波器,了解到了基础的计算及仿真方法。感谢刘洪盛老师的教导,另祝刘老师和助教身体安康。

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