基于ADS的巴特沃兹低通滤波器设计
一、方案分析
指标要求：设计一个巴特沃兹滤波器，给出实现方框图。滤波器指标：通带截止频率$1kHz$，通带最大衰减$1dB$，阻带起始频率$10KHz$，阻带最小衰减$40dB$。
根据指标要求，易知这是一个较低频率的低通滤波器。依据书本内容，可以从N阶巴特沃兹低通滤波器的频率响应函数入手，利用拉普拉斯变换得到归一化系统函数，推导其代数属性及方框图。根据其方框图，得到低通原型滤波器，根据设计要求去归一化搭建实际电路，最终利用ADS2019进行S参数仿真得到仿真结果。
二、设计原理
一个N阶低通巴特沃兹滤波器频率响应函数的模平方为：
$$\left| {B\left| {j\omega} \right|} \right|^{2} = \frac{1}{1 + \left( \frac{j\omega}{j\omega_{c}} \right)^{2N}}$$
则：
$$N = \frac{lg\left( {10^{\frac{L_{As}}{10}} - 1} \right)}{2lg\left( \frac{\omega_{s}}{\omega_{c}} \right)}$$
其中$L_{As}$为阻带起始频率处系统函数的功率增益，$ω_c$为阻带起始频率。通过该式我们可以根据滤波器指标要求计算滤波器阶数。
限制该滤波器的单位冲击响应为实值函数，则$B(s)=B(jω)$有
$$B\left( s \right)B\left( {- s} \right) = \frac{1}{1 + \left( \frac{s}{j\omega_{c}} \right)^{2N}}$$
其中分母多项式的根即为$B(s)B(-s)$的极点：
$$s_{k} = \left( {- 1} \right)^{\frac{1}{2N}}\left( {j\omega_{c}} \right) = \omega_{c}e^{({j{\lbrack{\frac{\pi{\lbrack{2k + 1}\rbrack}}{2N} + \frac{\pi}{2}}\rbrack}})}~~~k = 0,1,2\ldots$$
N=1、2、3、6时，极点位置为使系统为因果且稳定的，则取左半平面半圆上的点
$$B\left( s \right) = \frac{\omega_{c}^{N}}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {s - s_{k}} \right)}$$
归一化得：
$$G\left( \frac{s}{\omega_{c}} \right) = \frac{1}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {\frac{s}{\omega_{c}} - \frac{s_{k}}{\omega_{c}}} \right)}$$
令$p=\frac{s}{ω_c}$ 则$p_k=\frac{s_k}{ω_c}$
则归一化巴特沃兹传递函数：
$$G\left( p \right) = \frac{1}{\prod\limits_{k = 0}^{N - 1}\left( {p - p_{k}} \right)}$$
$$p_{k} = e^{j{\lbrack{\frac{\pi{\lbrack{2k + 1}\rbrack}}{2N} + \frac{\pi}{2}}\rbrack}}~~~k = 0,1,2\ldots$$
展开得：
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{N} + b_{N - 1}p^{N - 1} + \ldots + b_{1}p + b_{0}}$$
当$N=1$时：
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p+1}$$
当$N=2$时：
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{2} + \sqrt{2}p + 1}$$
当$N=3$时：
$$G\left( p \right) = \frac{1}{p^{3} + 2p^{2} + 2p + 1}$$
在阻抗匹配的情况下，信源内阻$R_s$与负载阻抗$R_l$相等。
反射系数：
$$\rho\left( p \right)\rho\left( {- p} \right) = 1 - \frac{4R_{s}}{R_{l}}G\left( p \right)G\left( {- p} \right) = \frac{p^{N}\left( {- p} \right)^{N}}{G_{N}\left( p \right)G_{N}\left( {- p} \right)}$$
归一化反射系数：
$$\rho\left( p \right) = \frac{p^{N}}{G_{N}\left( p \right)}$$
阻抗函数：
$$Z_{11}\left( p \right) = R_{s}\frac{1\mp\rho\left( p \right)}{1 \pm \rho\left( p \right)} = R_{s}\frac{G_{N}\left( p \right)\mp p^{N}}{G_{N}\left( p \right) \pm p^{N}}$$
这里我们采用：
$$Z_{11}\left( p \right) = \frac{G_{N}\left( p \right) - p^{N}}{G_{N}\left( p \right) + p^{N}}$$
将该阻抗函数展开为阶梯网络得：
低通滤波器原型其中：
$$g_0=g_{n+1}=1$$
$$g_{i} = 2{\sin\left( {\frac{2i - 1}{2n}\pi} \right)},i = 1,2\ldots n$$
即为低通原型滤波器。
巴特沃兹低通原型滤波器元件归一化值为实现滤波器指标要求，需要对其中的元件值重新计算，即去归一化。
$$ \begin{cases} {R_{0} = R_{s}g_{0}} \\ {R_{n + 1} = R_{s}g_{0}} \\ {L_{i} = \frac{R_{s}g_{i}}{\omega_{c}}} \\ {C_{i} = \frac{g_{i}}{{R_{s}\omega}_{c}}} \\ \end{cases} $$
即可得到需求电路。
三、设计过程
1.求解阶数
$$N = \frac{lg\left( {10^{\frac{L_{As}}{10}} - 1} \right)}{2lg\left( \frac{\omega_{s}}{\omega_{c}} \right)}$$
$$ \begin{cases} {L_{As} = 40} \\ {\omega_{s} = {2\pi*10}^{4}} \\ {\omega_{c} = {2\pi*10}^{3}} \\ \end{cases} $$
得$N=1.999$ 取$N=2$
故需设计一个二阶的巴特沃兹滤波器。低通原型如下：
二阶巴特沃兹低通原型2.去归一化
由上文所述的低通原型滤波器归一化值及去归一化公式可得：
$$ \begin{cases} {L_{1} = 11.254mH} \\ {C_{1} = 4.501\mu F} \\ \end{cases} $$
四、设计结果
计算出的实际电路参数依据计算结果搭建电路，设置S参数仿真频率范围。
五、仿真验证
幅频特性曲线
相频特性曲线通过幅频特性曲线可以知道，在$-3dB$点处，$f=1.001KHz$即为需求截止频率；$f=10KHz$的阻带衰减为$40dB$满足设计需求；总体来讲完成了滤波器的设计。
六、总结
通过本次的课程设计，我了解到了巴特沃兹低通滤波器的工作原理、基本特性；了解到了如何依据参数设计基于低通原型滤波器的巴特沃兹滤波器，了解到了基础的计算及仿真方法。感谢刘洪盛老师的教导，另祝刘老师和助教身体安康。